Теорема Гауса

Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Гауса

Експериментально встановлені закон Кулона і принцип суперпозиції принципово дозволяють вичерпно описати електростатичне поле заданої системи зарядів в вакуумі. Однак, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, більш загальній формі, без допомоги уявлення про кулонівське поле точкового заряду.

Мал. 1 До визначення елементарного потоку ΔΦ

Введемо нову фізичну величину, яка характеризує електричне поле – потік Φ вектора напруженості  електричного поля. Нехай в просторі, де існує електричне поле, розташована деяка достатньо мала площадка ΔS. Добуток модуля вектора Е на площу ΔS і на косинус кута α між вектором Е та нормаллю n до площадки називають елементарним потоком вектора напруженості через площадку ΔS (мал.1): 

ΔΦ = EΔS cos α = E_nΔS

де E_n – модуль нормальної складової поля Е.

Мал. 2 Обчислення потоку Ф через довільну поверхню

Розгляньмо деяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню на малі площадки ΔS_i, визначити елементарні потоки ΔΦi поля Е через ці малі площадки, а потім їх просумувати, то в результаті ми отримаємо потік Φ вектора Е через замкнуту поверхню S (мал. 2): 

Ф = ∑ΔФ_і = ∑ E_nіΔS_і.

В випадку замкнутої поверхні завжди вибирають зовнішню нормаль.

Теорема Гауса стверджує:

Потік вектора напруженості електростатичного поля Е через довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, розташованих всередині цієї поверхні, поділеній на електричну сталу ε₀:

Ф = ∑q_внутр/ε₀.

Для доведення розгляньмо спочатку сферичну поверхню S, в центрі якої знаходиться точковий заряд q. Електричне поле в будь-якій точці сфери радіуса R, перпендикулярне до її поверхні і дорівнює по модулю 

Е = Е_n =  q/(4πε₀∙R²).

Потік Φ через сферичну поверхню дорівнюватиме добуткові E на площу сфери 4πR².

Отже Ф = q/ε₀.

Мал. 3  Потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню S, яка оточує заряд

Оточимо тепер точковий заряд довільною замкнутою поверхнею S і розглянемо допоміжну сферу радіуса R₀ (мал.3.). Розгляньмо конус з малим тілесним кутом ΔΩ при вершині. Цей конус виділить на сфері малу площадку ΔS₀, а на поверхні S – площадку ΔS. Елементарні потоки ΔΦ₀ і ΔΦ через ці площадки однакові. Справді, 

ΔΦ₀ = E₀ΔS₀,   ΔΦ = EΔS∙cos α = EΔS '.

Тут ΔS ' = ΔS∙cos α – площадка, виділена конусом з тілесним кутом ΔΩ на поверхні сфери радіуса r. 

Оскільки

 Е/Е₀ = r²/R₀², a ΔS₀/ΔS ' = R₀²/r²,  отже ΔΦ0 = ΔΦ.

Звідси випливає, що повний потік електричного поля точкового заряду через довільну поверхню, яка охоплює заряд, дорівнює потоку Φ₀ через поверхню допоміжної сфери:

Ф = Ф₀ = q/ε₀.

Аналогічно можна показати, що, якщо замкнута поверхня S не охоплює точковий заряд q, то потік Φ = 0. (Всередині поверхні S зарядів немає, тому в цій області силові лінії не утворюються і не обриваються.)

Узагальнення теореми Гауса на випадок довільного розподілу зарядів випливає з принципу суперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна представити як векторну суму електричних полів Е точкових зарядів. Потік Φ системи зарядів через довільну замкнуту поверхню S буде складатись з потоків Φ_i електричних полів окремих зарядів. Якщо заряд q_i виявився всередині поверхні S, то він дає внесок в потік, рівний q_і/ε₀ якщо ж цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля в потік буде дорівнювати нулю.

Теорема Гауса є наслідком закону Кулона і принципу суперпозиції. Однак якщо прийняти твердження цієї теореми, за початкову аксіому, то її наслідком буде закон Кулона. Тому теорему Гауса іноді називають альтернативним формулюванням закону Кулона.

Використовуючи теорему Гауса, можна в багатьох випадках легко визначити напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів має певну симетрію і загальну структуру поля можна передбачити з міркувань симетрії.

Прикладом може бути задача про визначення напруженості електричного поля тонкостінного однорідного зарядженого довгого циліндра радіуса R. Ця задача має симетрію відносно вісі циліндра. З міркувань симетрії, електричне поле має бути направлено вздовж радіуса. Тому для застосування теореми Гауса доцільно вибрати замкнуту поверхню S в вигляді циліндра деякого радіуса r і довжини l, закритого з обох кінців (мал. 4).

 

Мал. 4 Обчислення електричного поля рівномірно зарядженого циліндра

При r ≥ R весь потік вектора напруженості електричного поля буде проходити через бічну поверхню циліндра, площа  якої дорівнює 2πrl, так як потік через обидві основи дорівнює нулю. Застосування теореми Гауса дає: 

Ф = Е∙2πrl = ρl/ε₀,

де ρ - заряд одиниці довжини циліндра. Звідси:

Е = ρ/2πr∙ε₀.

Цей результат не залежить від радіуса R зарядженого циліндра, тому він застосовний також до поля довгої однорідно зарядженої нитки.

Для визначення напруженості електричного поля всередені зарядженого циліндра потрібно побудувати замкнуту поверхню для випадку r < R. В силу симетрії задачі потік вектора напруженості через бічну поверхню гаусівського циліндра має бути і в цьому випадку Φ = E2πrl. За теоремою Гауса, цей потік пропорційний до заряду, який є всередині замкнутої поверхні. Цей заряд дорівнює нулю. Звідси випливає, що електричне поле всередині однорідно зарядженого довгого порожнистого циліндра дорівнює нулю.

Аналогічно можна застосувати теорему Гауса для визначення електричного поля в низці інших випадків, коли розподіл зарядів володіє певною симетрією, наприклад, симетрією відносно центра площини або вісі. В кожному з таких випадків потрібно вибирати замкнуту гаусівську поверхню доцільної для цього випадку  форми. Наприклад, в випадку центральної симетрії гаусівську поверхню доцільно вибрати в виді сфери з центром в точці симетрії. При осевій симетрії замкнуту поверхню потрібно вибирати в виді співвісного циліндра, замкнутого з обох боків (як в розглянутому вище прикладі). Якщо розподіл зарядів не володіє симетрією і загальну структуру електричного поля відгадати неможливо, застосування теореми Гауса не може спростити задачу визначення напруженості електричного поля.

Розгляньмо ще один приклад симетричного розподілу зарядів – визначення напруженості електричного поля рівномірно зарядженої площини (мал.5).

 

Мал. 5 Обчислення напруженості електричного поля рівномірно зарядженої площини.

(σ – поверхнева густина зарядау, S – замкнута гаусова  поверхня)

В цьому випадку замкнуту поверхню S потрібно вибирати в виді циліндра, замкнутого з обох боків. Вісь циліндра направлена перпендикулярно зарядженій площині, а його торці розташовані на однаковій віддалі від неї. З міркувань симетрії поле рівномірно зарядженої площини має бути всюди направлено вздовж нормалі. Застосування теореми Гауса дає:

2ЕΔS = σΔS/ε₀  або Е = σ/2ε₀.

В останній формулі σ – це поверхнева густина заряду, іншими словами, заряд, котрий припадає на одиницю площі.

Отриманий вираз для електричного поля однорідно зарядженої площини застосовний і до випадку  плоских заряджених площадок скінченого розміру. В цьому випадку віддаль від точки, в якій визначається напруженість поля, до зарядженої площадки має бути значно менша за розміри  площадки.

Доцільно прочитати:

• 1. Електричний заряд.
• 2. Закон Кулона.
• 3. Вимірювання ЕРС джерела.
• 4. Електричне поле.
• 5. Закон Ома для електролітів.
• 6. Закон Ома.