понеділок, 21 березня 2016 р.

Швидкість звукової хвилі

Адіабатична звукова хвиля 

***
Припустимо, що внаслідок короткочасної дії  на кінець стержня (наприклад, удар молотка) в ньому виникає хвильовий імпульс, який поширюється по всьому стержню. Сила, яка подіяла на стержень, за час dt змістила частинки масою  
dm = Svdt,  
та надавши їй імпульс  
vdm = Sv2dt.

Значення сили, яка здійснила ці зміни знайдемо з другого закону Ньютона


F = v∙dm/dt = Sv2∙dρ


З іншого боку значення цієї ж сили знайдемо через зміну тиску dp:


F = Sdp


Прирівнюючи ліві сторони обох рівнянь та скорочуючи площу поперечного перерізу стержня отримуємо загальну формулу для визначення швидкості поширення звукової хвилі через  невеликі зміни густини та тиску:
 v = (dp/)1/2
Скористаємось цією формулою, та визначимо швидкість поширення акустичної хвилі у газах



1. Ізотермічна звукова хвиля 
Вважатимемо, що зміна тиску при поширенні звукової хвилі підлягає закону Бойля-Маріотта – ізотермічна хвиля. Така хвиля реалізується при малих частотах звуку.

pV = const
pV = (m/μ)•RT
p/ρ = const

Продиференціюємо по густині останнє рівняння

 (p/ρ)' ={ ρdp/ p}/ρ2 = 0

З останнього співвідношення знайдемо, що

Vізот = (р/ρ)1/2 = (RT/μ)1|2

Отримана формула добре описує значення швидкості звукової хвилі при невеликих частотах, проте із збільшенням частоти звуку теоретичні значення швидкостей розходяться і з експериментально виміряними.

2. Адіабатична звукова хвиля 
Вважатимемо, що звукова хвиля поширюється в газах і при цьому зміна тиску узгоджується формулою Пуассона, а сама хвиля є адіабатичною.

pVγ = const
pV = (m/μ)•RT
p/ργ = const

Продиференціюємо по густині останнє рівняння

(p/ργ)' ={ ργdp/ pγργ-1}/ρ = 0

З останнього співвідношення знайдемо, що

Vадіаб = (γр/ρ)1/2 = (γRT/μ)1|2

де γ = срv  - показник адіабати.


Остання формула більш точно описує швидкість поширення акустичної звукової хвилі в газоподібному середовищі.




Доцільно прочитати:






Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...