четвер, 18 лютого 2016 р.

Розподіл Больцмана

 Розподіл частинок у потенціальному силовому полі

Повний безлад, яким характеризується тепловий рух  молекул, все ж таки має свої закони. Не дивлячись на те, що кожна молекула постійно змінює свою швидкість, макроскопічний стан газу в системі не змінюється (саме такі роздуми призвели до встановлення Максвелом у 1859 році  розподілу молекул газу пошвидкостях).

Рівноважний стан газу характеризується не тільки розподілом молекул по швидкостях, але і по координатах. При відсутності зовнішніх силових полів цей розподіл буде однорідним: газ рівномірно розподіляється по всьому об’єму посудини.  
Яким буде розподіл молекул газу при наявності поля (наприклад поля тяжіння), яке діє на молекули?
Добре відомо, що атмосферний тиск зменшується з висотою. Наприклад, на висоті 5 600 м тиск дорівнює ½ тиску на рівні моря. Однак звідси не слід робити висновок, що на висоті вдвічі більшій зовсім немає молекул – літаки літають і на висотах 30 000м.

Знайдемо розподіл молекул газу в однорідному полі тяжіння з висотою.





Розглянемо вертикальний стовп газу з площею основи S і виділимо на висоті h елемент (прошарок) Δh. Зауважу, що даний елемент є настільки малий, що в ньому можна рахувати р=const, і настільки великий, щоб можна було говорити про тиск молекул повітря цього прошарку.

Запишемо умову механічної рівноваги:

(p(h)S = Δmg + p(h+Δh)S) → (p(h) = ρgΔh + p(h+Δh)) → (p(h+Δh) - p(h) = - ρgΔh) →
→ (Δp = - ρgΔh).

З рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона - Менделєєва) знайдемо густину повітря у виділеному прошарку:

 ρ = pμ/(RT).

Підставивши значення густини в умову рівноваги та розділивши змінні отримаємо:

Δp/p = -(μg/(RT))•Δh.

Проінтегрувавши  останній вираз отримаємо:

lnp = -μgh/(RT) + lnC

де С – деяка константа, яку знаходимо з умови, що тиск повітря на нульовій висоті дорівнює одній атмосфері, тобто р0.

Пропотенціювавши останній вираз отримуємо шукане значення тиску 


Останні співвідношення називають барометричною формулою

З цього співвідношення можемо зробити висновок, що тиск зменшується із висотою тим швидше, чим важчий є газ (більше μ) і чим нижча температура.


Знаємо з основного рівняння МКТ, що p = nkT, тобто тиск пропорційний концентрації. Підставляючи це в барометричну формулу, отримаємо рівноважний розподіл молекул в довільному потенціальному полі, який носить назву розподіл Больцмана.


Додатково.

Загальна теорія рівноважних статистичних розподілів була створена Гібсом. Він показав, що в стані теплової рівноваги закон розподілу молекул по довільній величині, що характеризує її стан (координата, швидкість, енергія тощо) має експоненціальний характер, причому в показнику експоненти стоїть взяте зі знаком мінус відношення  характерної енергії молекул до величини кТ, яка пропорційна середній кінетичній енергії хаотичного руху молекул.



Готуючись до проміжного заліку не забудь вивчити:



Доцільно прочитати:




Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...