Основне рівняння МКТ

Основне рівняння МКТ (виведення)

Траекторія руху однієї частинки

Розглянемо ідеальний газ. (Пригадаємо, що ідеальний газ – це модель реального газу в якому:

1) відсутня взаємодія між молекулами;

2) молекули – матеріальні точки певної маси (займають безмежно малий об’єм в порівнянні з об’ємом посудини);

3) при зіткненні між собою та зі стінками посудини ведуть себе як пружні кульки;

4) молекули рівномірно розподілені по об’єму).

Дана речовина займає об’єм V та складається із великої кількості частинок N.

Газ перебуває у стані теплової рівноваги у якій N₁ частинок володіють швидкостями v₁; N₂ – v₂; N₃ – v₃: …

Обрахуємо тиск газу на елемент поверхні ΔS на основі молекулярно - кінетичної теорії (МКТ) та механіки Ньютона. При цьому враховуватимемо, що удари молекул (атомів, іонів) пружні, молекули масивні (m) та молекули тотожні між собою.

Розглянемо рух однієї частинки – молекули. Внаслідок зіткнення зі стінкою, вона змінює імпульс:

Зміна імпульсу однієї частинки під час зіткнення з перешкодою.

Δр = - 2mv_1x

Сила, з якою діють молекули 1-го сорту на площадку ΔS:

ΔF₁_x = 2mv₁_x ΔN₁/ Δt

де – ΔN₁ – число зіткнень молекул зі швидкостями v₁ з площадкою ΔS за час Δt.

До розрахунку кількості зіткнень

Порахуємо число зіткнень ΔN₁:

ΔN₁ = ½•N₁v₁_x Δt ΔS/V

Коефіцієнт ½ пояснюється хаотичністю руху частинок (лише половина частинок рухаються вліво).

Тому значення сили ΔF₁_x набуває наступного вигляду:

ΔF₁_x = 2mv₁_x ΔN₁/ Δt = … = mv²₁_x N₁ΔS / V

Повна сила, яка діє на площадку ΔS зі сторони всіх молекул, що мають різні швидкості:

ΔF_x = ΔF₁_x + ΔF₂_x + ΔF₃_x + … = mv²₁_x N₁ΔS / V +
+ mv²₂_x N₂ΔS / V + mv²₃_x N₃ΔS / V + …

Шукане значення тиску р дорівнює:

р = ΔF_x/ ΔS = (v²₁_x N₁ + v²₂_x N₂ + v²₃_x N₃ + …)m/V =
= N‹v_x²›m/V

де ‹v_x²› - середнє значення квадрата складової швидкості молекули в напрямку осі Ох.

Оскільки в силу хаотичності руху усі напрямки є рівноправними, тому:

‹v²› = ‹v_x²› + ‹v_y²› + ‹v_z²› = 3‹v_x²›.

Підставляючи останнє співвідношення у рівняння для тиску отримуємо основне рівняння МКТ, яке було отримане лише з використанням законів Ньютона та основних положень молекулярно- кінетичної теорії.

pV = ⅓mN‹v²›; р = ⅓nm‹v²› = ⅔n‹E_k›

Інша форма запису основного рівняння МКТ

pV = ⅔N‹E_k› ; p = ⅓ρ‹v²›

Враховуючи значення середньої квадратичної швидкості із розподілу молекул по швидкостях, встановленим Максвелом у 1859 році отримаємо:

V_с.кв. = (3кТ/m)^1/2 ; ‹E_k› = 3kT/2

Підставляючи значення середньої кінетичної енергії поступального руху молекул в основне рівняння МКТ отримаємо ще одну формулу для знаходження тиску ідеального газу:

p = nkT

(У останній формулі: р - тиска газу; к - постійна Больцмана; Т - температура газу).

Доцільно прочитати: