пʼятниця, 13 листопада 2015 р.

Додавання коливань

Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Фігури Ліссажу


Фігури Ліссажу. Відношення a/b - відношення власних частот незатухаючих коливань

Розглянемо коливальну систему, яка складається з точкової маси m та зв’язаних з нею чотирьох пружин (мал. 1 вид зверху).  Така система володіє двома ступенями вільності. 

Мал. 1

При невеликих зміщеннях коливання відбуватимуться у двох взаємно перпендикулярних напрямках незалежно одне від одного:
із власними частотами гармонічних коливань


Знайдемо траєкторію руху коливальної частинки у випадку, коли частоти рівні між собою:
ω01 = ω02 = ω0

жорсткості всіх пружин однакові. Виключаючи із рівнянь коливань час та здійснюючи певні тригонометричні перетворення отримуємо наступне рівняння:

   
Проаналізувавши його, робимо висновок, що траєкторією руху вантажу є еліпс.


Мал. 2.1

Таким чином, в загальному випадку, вантаж здійснюватиме періодичні коливні рухи по еліптичній траєкторії. Напрям руху вздовж траєкторії та орієнтація еліпса відносно осей залежить від початкової різниці фаз Δφ = φ2 – φ1 (мал. 2.1, 2.2).

Мал. 2.2


Якщо частоти двох взаємно перпендикулярних коливань не співпадають, проте є кратними між собою mω02 = nω01, то траєкторіями руху вантажу будуть замкнені криві – фігури Ліссажу (мал. 3). 

Мал. 3

У випадку, коли кратність відсутня, то траєкторії не будуть замкненими, і поступово заповнюватимуть весь доступний простір (мал. 3).


Мал. 4  Фігури Ліссажу залежать від відношення частот (a/b) та початкової різниці фаз Δφ.



Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...