Дві задачі на механічні коливання
Задача 1. Визнвчити час польоту каменя від одного полюса Землі до другого по прямому тунелю, проритому через її центр. Густина Землі постійна, радіус дорівнює 6370км.
Р о з в’я з о к. Тіло в тунелі буде здійснювати гармонічні коливання навколо положення рівноваги, яким є центр Землі. (точка О, мал.1).
 мал. 1 |
Опором повітря нехтуємо, тіло точкове. Для положення 1 напишемо рівняння руху:
F = m•a (1)
Але
Враховуючи останнє, із співвідношення (1) отримаємо:
a = 4πγρ•x/3 (2)
Ознака гармонічних коливань твердить, що при гармонічних коливаннях прискорення а пропорційне зміщенню х, взятому з протилежним знаком.Коефіцієнтом пропорційності є кругова частота ω в квадраті:
а = - ω2•х (3)
Співставляючи (2) та (3) знаходимо
При перетвореннях враховано співвідношення між періодом коливання та круговою частотою
T = 2π/ω.
Невідоме значення густини Землі шукатимемо із закону всесвітнього тяжіння.
Тому період коливань тіла дорівнюватиме:
Відповідно час руху тіла від одного полюса до іншого
t = T/2 = 42 хв.
При розрахунках прийнято, Rз=6370км, а прискорення вільного падіння g=9,81 м/c2.
При умові створення такого тунелю, ми могли б переміщувати об'єкти з однієї точки земної кулі в протилежну, за час 42 хвилини, не витрачаючи при цьому палива. За допомогою такого тунелю економніше було би запускати космічні кораблі.
Задача 2. В землі прорито тунель, котрий не проходить через її центр. Визначіть час руху поїзда з виключеним двигуном по такому тунелю, якщо впливом обертання Землі на рух поїзда та тертям знехтувати.
Р о з в’я зо к. В тунелі (мал. 2), при відсутності сил тертя, тіло буде здійснювати гармонічні коливання навколо точки О'.
 |
| мал.2 |
Запишемо для положення 1 рівняння руху:
FR = m•a
В проекції на напрям прискорення останнє рівняння набуде вигляду
m•aX = F0sinα
Але
Враховуючи, що
Тоді рівняння руху
a = - g•x/Rз
Останнє співвідношення є ознакою гармонічних коливань, тому період коливання тіла в такому тунелі визначається наступною формулою:
Відповідно час руху від одного кінця тунелю до іншого
t = T/2 = 42 хв.
Звертає увагу той факт, що розвязуючи принципово іншу задачу, ми отримали аналогічну відповідь. Можемо зробитм висновок, що проривши довільний тунель і запустивши у нього тіло, котре має змогу рухатись без тертя, ми отримаємо наступне:
час руху між довільними точками на поверхні Землі по тунелю, котрий їх зєднує, завжди однаковий, і дорівнює 42хв.
В процесі такого
переміщення, ми не витрачаємо пального. Отож подорож зі Львова до Києва,
Чикаго, Ванкувера чи Сіднея займала б усього 42 хвилини, якщо б наша
цивілізація не займалась би політикою, а намагалась втілювати в життя
досягнення науки, досягнення в ім'я людини та для покращення життя
людини. І тоді пісня В.Сюткіна стала би пророчою, а відеоматеріал
прийшлось би перезняти відповідно до нового змісту.
Доцільно прочитати:
